MP Varg 2 & TET Maths: Top 50 Tricky Complex Number Questions (FLT)
MP Varg 2 Maths Teacher Exam और अन्य TET / TGT / PGT परीक्षाओं में Complex Numbers (सम्मिश्र संख्याएँ) एक बहुत ही महत्वपूर्ण और एडवांस टॉपिक है। अक्सर इस टॉपिक से कॉन्सेप्चुअल और घुमावदार (tricky) प्रश्न पूछे जाते हैं, जिनमें एक छोटी सी गलती से पूरा उत्तर गलत हो सकता है।
आपकी एडवांस मैथ्स की तैयारी को 100% पक्की करने के लिए Maths Wallah लेकर आया है Complex Numbers के Top 50 Most Important Questions का एक बेहतरीन फुल लेंथ टेस्ट (FLT)। इस सेट में iota (i) की पावर्स, मापांक (Modulus), कोणांक (Amplitude), और संयुग्मी (Conjugate) से जुड़े वो सभी पैटर्न शामिल हैं जो एग्जाम्स में बार-बार रिपीट होते हैं।
💡 इस प्रैक्टिस सेट का उपयोग कैसे करें?
हर प्रश्न के नीचे 4 विकल्प दिए गए हैं। खुद से उत्तर सोचने के बाद, सही जवाब और उसका पूरा स्टेप-बाय-स्टेप हल (Step-by-step Solution) देखने के लिए "उत्तर और हल (Solution) देखें" बटन पर क्लिक करें।
चलिए शुरू करते हैं आज की शानदार प्रैक्टिस! 👇
Q1. \( i^{243} \) का मान (Value) क्या होगा?
- A) 1
- B) -1
- C) i
- D) -i
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: D) -i
हल:
हम जानते हैं कि \( i^4 = 1 \) होता है।
243 को 4 से भाग देने पर शेषफल (remainder) 3 बचता है। (243 = 4 × 60 + 3)
अतः \( i^{243} = i^3 = -i \)
Q2. व्यंजक \( (1 + i)^4 \) का मान क्या है?
- A) 4
- B) -4
- C) 4i
- D) -4i
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) -4
हल:
सबसे पहले \( (1 + i)^2 \) निकालें: \( 1^2 + i^2 + 2i = 1 - 1 + 2i = 2i \)
अब, \( (1 + i)^4 = ((1 + i)^2)^2 = (2i)^2 \)
\( = 4i^2 = 4(-1) = -4 \)
Q3. सम्मिश्र संख्या \( \frac{1 + i}{1 - i} \) का मापांक (Modulus) क्या होगा?
- A) 1
- B) 2
- C) \(\sqrt{2}\)
- D) 0
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: A) 1
हल:
गुणधर्म: \( |\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \)
\( |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
\( |1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \)
अतः मापांक = \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1\)
Q4. \( 3 + 4i \) का गुणात्मक प्रतिलोम (Multiplicative Inverse) क्या है?
- A) \( \frac{3}{25} + \frac{4}{25}i \)
- B) \( \frac{3}{25} - \frac{4}{25}i \)
- C) \( 3 - 4i \)
- D) \( \frac{1}{3} - \frac{1}{4}i \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) \( \frac{3}{25} - \frac{4}{25}i \)
हल:
किसी सम्मिश्र संख्या \( z \) का गुणात्मक प्रतिलोम \( z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} \) होता है।
\( \bar{z} = 3 - 4i \)
\( |z|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)
अतः \( z^{-1} = \frac{3 - 4i}{25} = \frac{3}{25} - \frac{4}{25}i \)
Q5. \( \frac{1}{2 - i} \) की संयुग्मी (Conjugate) सम्मिश्र संख्या क्या होगी?
- A) \( \frac{2}{5} + \frac{1}{5}i \)
- B) \( \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i \)
- C) \( 2 + i \)
- D) \( 2 - i \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) \( \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i \)
हल:
पहले संख्या को सरल करें: \( \frac{1}{2 - i} \times \frac{2 + i}{2 + i} = \frac{2 + i}{4 - i^2} = \frac{2 + i}{5} \)
संख्या बन गई: \( \frac{2}{5} + \frac{1}{5}i \)
इसकी संयुग्मी (Conjugate) निकालने के लिए काल्पनिक भाग का चिह्न बदलें: \( \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i \)
Q6. यदि \( \omega \) इकाई का एक अवास्तविक घनमूल (Complex cube root of unity) है, तो \( 1 + \omega + \omega^2 \) का मान क्या होगा?
- A) 1
- B) -1
- C) 0
- D) \( \omega \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: C) 0
हल:
यह एक मानक (Standard) गुणधर्म है: इकाई के तीनों घनमूलों का योगफल हमेशा शून्य होता है।
\( 1 + \omega + \omega^2 = 0 \)
Q7. सम्मिश्र संख्या \( -1 - i \) का मुख्य कोणांक (Principal Argument) क्या है?
- A) \( \frac{\pi}{4} \)
- B) \( -\frac{\pi}{4} \)
- C) \( \frac{3\pi}{4} \)
- D) \( -\frac{3\pi}{4} \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: D) \( -\frac{3\pi}{4} \)
हल:
यहाँ \( x = -1, y = -1 \), अतः यह तीसरे चतुर्थांश (3rd Quadrant) में स्थित है।
\( \tan \alpha = |\frac{-1}{-1}| = 1 \implies \alpha = \frac{\pi}{4} \)
तीसरे चतुर्थांश में मुख्य कोणांक \( \theta = -(\pi - \alpha) = -(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\frac{3\pi}{4} \)
Q8. योगफल \( \sum_{n=1}^{13} (i^n + i^{n+1}) \) का मान ज्ञात कीजिए।
- A) \( i \)
- B) \( i - 1 \)
- C) \( -i \)
- D) 0
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) \( i - 1 \)
हल:
हम जानते हैं कि \( i \) की लगातार 4 घातों का योग 0 होता है (जैसे \( i + i^2 + i^3 + i^4 = 0 \))।
\( \sum_{n=1}^{13} i^n = i^1 + i^2 + ... + i^{12} + i^{13} = 0 + i^{13} = i \)
\( \sum_{n=1}^{13} i^{n+1} = i^2 + i^3 + ... + i^{13} + i^{14} = 0 + i^{14} = -1 \)
दोनों को जोड़ने पर: \( i - 1 \)
Q9. \( \sqrt{i} + \sqrt{-i} \) का मान (मूल्यों में से एक) क्या होगा?
- A) 0
- B) \( \sqrt{2} \)
- C) \( -\sqrt{2}i \)
- D) \( 2i \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) \( \sqrt{2} \)
हल:
\( \sqrt{i} = \pm(\frac{1 + i}{\sqrt{2}}) \) और \( \sqrt{-i} = \pm(\frac{1 - i}{\sqrt{2}}) \)
धनात्मक मान लेने पर: \( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} + \frac{1 - i}{\sqrt{2}} = \frac{1 + i + 1 - i}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \)
Q10. यदि सम्मिश्र तल में \( |z - 1| = |z + 1| \) हो, तो \( z \) का बिंदुपथ (Locus) क्या होगा?
- A) x-अक्ष (Real axis)
- B) y-अक्ष (Imaginary axis)
- C) मूल बिंदु (Origin) से होकर जाने वाला वृत्त
- D) सरल रेखा y = x
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) y-अक्ष (Imaginary axis)
हल:
\( z = x + iy \) रखें।
\( |(x-1) + iy| = |(x+1) + iy| \)
\( (x-1)^2 + y^2 = (x+1)^2 + y^2 \)
\( x^2 - 2x + 1 = x^2 + 2x + 1 \implies 4x = 0 \implies x = 0 \)
\( x = 0 \) y-अक्ष का समीकरण है।
Q11. \( i^{10} + i^{20} + i^{30} + i^{40} \) का मान क्या है?
- A) 1
- B) -1
- C) 0
- D) 4
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: C) 0
हल:
\( i^{10} = (i^4)^2 \cdot i^2 = -1 \)
\( i^{20} = (i^4)^5 = 1 \)
\( i^{30} = (i^4)^7 \cdot i^2 = -1 \)
\( i^{40} = (i^4)^{10} = 1 \)
योग: \( -1 + 1 - 1 + 1 = 0 \)
Q12. यदि \( \omega \) इकाई का अवास्तविक घनमूल है, तो \( (1 - \omega + \omega^2)^5 + (1 + \omega - \omega^2)^5 \) का मान क्या होगा?
- A) 32
- B) -32
- C) 64
- D) 0
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: A) 32
हल:
हम जानते हैं कि \( 1 + \omega + \omega^2 = 0 \).
\( 1 + \omega^2 = -\omega \) रखने पर पहला पद: \( (-\omega - \omega)^5 = (-2\omega)^5 = -32\omega^5 = -32\omega^2 \) (क्योंकि \( \omega^3 = 1 \))
\( 1 + \omega = -\omega^2 \) रखने पर दूसरा पद: \( (-\omega^2 - \omega^2)^5 = (-2\omega^2)^5 = -32\omega^{10} = -32\omega \)
योग: \( -32\omega^2 - 32\omega = -32(\omega^2 + \omega) = -32(-1) = 32 \)
Q13. सम्मिश्र संख्या \( i \) का ध्रुवीय रूप (Polar form) क्या है?
- A) \( \cos(0) + i \sin(0) \)
- B) \( \cos(\pi/2) + i \sin(\pi/2) \)
- C) \( \cos(\pi) + i \sin(\pi) \)
- D) \( \cos(3\pi/2) + i \sin(3\pi/2) \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) \( \cos(\pi/2) + i \sin(\pi/2) \)
हल:
\( z = 0 + 1i \)
मापांक \( r = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1 \)
कोणांक \( \theta = \tan^{-1}(1/0) = \pi/2 \)
अतः ध्रुवीय रूप: \( 1 \cdot (\cos(\pi/2) + i \sin(\pi/2)) \)
Q14. किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं \( z_1 \) और \( z_2 \) के लिए \( |z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 \) किसके बराबर होता है?
- A) \( 2(|z_1|^2 - |z_2|^2) \)
- B) \( 2(|z_1|^2 + |z_2|^2) \)
- C) \( |z_1|^2 + |z_2|^2 \)
- D) \( 4|z_1||z_2| \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) \( 2(|z_1|^2 + |z_2|^2) \)
हल:
यह सम्मिश्र संख्याओं का एक महत्वपूर्ण गुणधर्म है, जिसे समांतर चतुर्भुज नियम (Parallelogram Law) भी कहा जाता है।
\( |z_1 \pm z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 \pm 2\text{Re}(z_1\bar{z}_2) \)
दोनों को जोड़ने पर \( + \) और \( - \) वाले पद कट जाते हैं, जिससे \( 2(|z_1|^2 + |z_2|^2) \) प्राप्त होता है।
Q15. यदि \( z = bi \) (जहाँ \( b < 0 \)), तो इसका मुख्य कोणांक (Principal Argument) क्या होगा?
- A) \( \pi/2 \)
- B) \( -\pi/2 \)
- C) \( \pi \)
- D) 0
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) \( -\pi/2 \)
हल:
चूँकि \( z = bi \) (शुद्ध काल्पनिक संख्या) है और \( b < 0 \) (ऋणात्मक) है, अतः यह सम्मिश्र तल में ऋणात्मक y-अक्ष पर स्थित होगा।
ऋणात्मक y-अक्ष का कोणांक \( -\pi/2 \) होता है।
Q16. इकाई (Unity) के तीनों घनमूलों का गुणनफल (Product) क्या होता है?
- A) 0
- B) -1
- C) 1
- D) \( \omega \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: C) 1
हल:
इकाई के तीन घनमूल \( 1, \omega, \) और \( \omega^2 \) होते हैं।
इनका गुणनफल = \( 1 \cdot \omega \cdot \omega^2 = \omega^3 \)
और हम जानते हैं कि \( \omega^3 = 1 \) होता है।
Q17. सम्मिश्र संख्या \( -8i \) का वर्गमूल (Square root) क्या होगा?
- A) \( \pm(2 + 2i) \)
- B) \( \pm(2 - 2i) \)
- C) \( \pm(4 - 2i) \)
- D) \( \pm(2 - 4i) \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) \( \pm(2 - 2i) \)
हल:
मान लें \( \sqrt{-8i} = x + iy \)
दोनों तरफ वर्ग करने पर: \( -8i = x^2 - y^2 + 2ixy \)
वास्तविक भाग की तुलना: \( x^2 - y^2 = 0 \implies x = \pm y \)
काल्पनिक भाग की तुलना: \( 2xy = -8 \implies xy = -4 \)
चूँकि xy ऋणात्मक है, x और y के चिह्न विपरीत होंगे। अतः \( x = 2, y = -2 \) या \( x = -2, y = 2 \)। (अर्थात \( \pm(2 - 2i) \))
Q18. \( \left|\frac{2i}{1 + i}\right| \) का मान ज्ञात कीजिए।
- A) 2
- B) \(\sqrt{2}\)
- C) 1
- D) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) \(\sqrt{2}\)
हल:
मापांक का गुणधर्म लगाएँ: \( |\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \)
अंश का मापांक: \( |2i| = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2 \)
हर का मापांक: \( |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
अतः मान = \( \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \)
Q19. यदि \( x + iy = \frac{a + ib}{a - ib} \) हो, तो \( x^2 + y^2 \) का मान क्या होगा?
- A) -1
- B) 1
- C) \( a^2 + b^2 \)
- D) \( \frac{1}{a^2 + b^2} \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) 1
हल:
\( x^2 + y^2 \) वास्तव में \( |x + iy|^2 \) है।
दोनों तरफ मापांक (Modulus) लेने पर:
\( |x + iy| = |\frac{a + ib}{a - ib}| = \frac{|a + ib|}{|a - ib|} \)
\( = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{\sqrt{a^2 + (-b)^2}} = 1 \)
अतः \( |x + iy|^2 = 1^2 = 1 \)
Q20. सम्मिश्र संख्या \( \frac{1 - i}{1 + i} \) का काल्पनिक भाग (Imaginary Part) क्या है?
- A) 1
- B) -1
- C) 0
- D) -i
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) -1
हल:
हर का परिमेयकरण (Rationalization) करें:
\( \frac{1 - i}{1 + i} \times \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{(1 - i)^2}{1^2 - i^2} \)
\( = \frac{1 + i^2 - 2i}{1 + 1} = \frac{1 - 1 - 2i}{2} = \frac{-2i}{2} = -i \)
संख्या \( 0 - 1i \) है, अतः काल्पनिक भाग -1 है।
Q21. यदि \( z \) एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है जो वास्तविक अक्ष (Real Axis) पर स्थित नहीं है, तो उसके मुख्य कोणांक \( \text{arg}(z) + \text{arg}(\bar{z}) \) का मान क्या होगा?
- A) \( \pi \)
- B) \( \pi/2 \)
- C) 0
- D) \( 2\pi \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: C) 0
हल:
किसी भी सम्मिश्र संख्या \( z \) के लिए, उसके संयुग्मी (Conjugate) \( \bar{z} \) का मुख्य कोणांक \( z \) के मुख्य कोणांक का ऋणात्मक होता है (यदि z ऋणात्मक वास्तविक अक्ष पर न हो)।
\( \text{arg}(\bar{z}) = -\text{arg}(z) \)
अतः \( \text{arg}(z) + (-\text{arg}(z)) = 0 \)
Q22. सम्मिश्र संख्या \( z = \frac{1 + 2i}{1 - (1 - i)^2} \) का मापांक (Modulus) क्या होगा?
- A) 0
- B) 1
- C) 2
- D) \( \sqrt{5} \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) 1
हल:
सबसे पहले हर (Denominator) को हल करें: \( (1 - i)^2 = 1^2 + i^2 - 2i = 1 - 1 - 2i = -2i \)
अब हर का मान होगा: \( 1 - (-2i) = 1 + 2i \)
समीकरण बनेगा: \( z = \frac{1 + 2i}{1 + 2i} = 1 \)
1 का मापांक (Modulus) \( |1| = 1 \) होता है।
Q23. \( n \) के किसी भी पूर्णांक मान के लिए \( i^n + i^{n+1} + i^{n+2} + i^{n+3} \) का मान क्या होता है?
- A) \( i \)
- B) 1
- C) 0
- D) -1
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: C) 0
हल:
\( i^n \) को कॉमन लेने पर: \( i^n (1 + i + i^2 + i^3) \)
हम जानते हैं कि \( i^2 = -1 \) और \( i^3 = -i \)
\( 1 + i - 1 - i = 0 \)
अतः \( i^n \times 0 = 0 \)
Q24. सम्मिश्र संख्या \( -i \) का गुणात्मक प्रतिलोम (Multiplicative Inverse) क्या होगा?
- A) \( i \)
- B) \( -i \)
- C) 1
- D) -1
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: A) \( i \)
हल:
गुणात्मक प्रतिलोम \( = \frac{1}{-i} \)
अंश और हर में \( i \) से गुणा करने पर: \( \frac{1 \times i}{-i \times i} = \frac{i}{-i^2} \)
चूँकि \( i^2 = -1 \), अतः \( -(-1) = 1 \)
अतः मान \( \frac{i}{1} = i \) होगा।
Q25. यदि \( |z - z_1| = |z - z_2| \) हो, तो \( z \) का बिंदुपथ (Locus) क्या दर्शाता है?
- A) एक वृत्त (Circle)
- B) \( z_1 \) और \( z_2 \) को मिलाने वाली रेखा का लंब-समद्विभाजक (Perpendicular Bisector)
- C) एक परवलय (Parabola)
- D) \( z_1 \) और \( z_2 \) से गुजरने वाली रेखा
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) \( z_1 \) और \( z_2 \) को मिलाने वाली रेखा का लंब-समद्विभाजक
हल:
ज्यामितीय रूप से, \( |z - z_1| = |z - z_2| \) का अर्थ है कि बिंदु \( z \), बिंदुओं \( z_1 \) और \( z_2 \) से समान दूरी पर स्थित है।
दो बिंदुओं से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का बिंदुपथ हमेशा उन बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड का लंब-समद्विभाजक (Perpendicular Bisector) होता है।
Q26. सम्मिश्र संख्या \( -1 + \sqrt{3}i \) का ध्रुवीय रूप (Polar Form) क्या होगा?
- A) \( 2(\cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3)) \)
- B) \( 2(\cos(2\pi/3) + i\sin(2\pi/3)) \)
- C) \( 2(\cos(5\pi/6) + i\sin(5\pi/6)) \)
- D) \( 2(\cos(-\pi/3) + i\sin(-\pi/3)) \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) \( 2(\cos(2\pi/3) + i\sin(2\pi/3)) \)
हल:
मापांक \( r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 \)
कोणांक निकालने के लिए: \( x = -1, y = \sqrt{3} \) (द्वितीय चतुर्थांश)
\( \alpha = \tan^{-1}\left|\frac{\sqrt{3}}{-1}\right| = \pi/3 \)
द्वितीय चतुर्थांश में कोणांक \( \theta = \pi - \alpha = \pi - \pi/3 = 2\pi/3 \)
ध्रुवीय रूप: \( r(\cos\theta + i\sin\theta) = 2(\cos(2\pi/3) + i\sin(2\pi/3)) \)
Q27. किसी शुद्ध ऋणात्मक वास्तविक संख्या (Purely Negative Real Number) का मुख्य कोणांक (Principal Argument) क्या होता है?
- A) \( 0 \)
- B) \( \pi/2 \)
- C) \( \pi \)
- D) \( -\pi/2 \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: C) \( \pi \)
हल:
शुद्ध ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र तल में ऋणात्मक x-अक्ष (Negative x-axis) पर स्थित होती हैं।
धनात्मक x-अक्ष से ऋणात्मक x-अक्ष तक का कोण \( \pi \) (180°) होता है।
Q28. सम्मिश्र संख्या \( -15 - 8i \) का वर्गमूल (Square Root) क्या होगा?
- A) \( \pm(4 - i) \)
- B) \( \pm(1 - 4i) \)
- C) \( \pm(1 + 4i) \)
- D) \( \pm(4 + i) \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) \( \pm(1 - 4i) \)
हल:
मान लें \( \sqrt{-15 - 8i} = x + iy \)
वर्ग करने पर: \( (x^2 - y^2) + 2xyi = -15 - 8i \)
\( x^2 - y^2 = -15 \) और \( 2xy = -8 \implies xy = -4 \)
विकल्पों से चेक करें: यदि \( x=1 \) और \( y=-4 \) हो, तो \( x^2 - y^2 = 1 - 16 = -15 \) (संतुष्ट करता है)।
अतः वर्गमूल \( \pm(1 - 4i) \) होगा।
Q29. यदि \( \omega \) इकाई का अवास्तविक घनमूल है, तो \( (1 + \omega)(1 + \omega^2) \) का मान क्या है?
- A) 0
- B) 1
- C) \( \omega \)
- D) -1
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) 1
हल:
हम जानते हैं कि \( 1 + \omega + \omega^2 = 0 \)
अतः \( 1 + \omega = -\omega^2 \) और \( 1 + \omega^2 = -\omega \)
इनका गुणा करने पर: \( (-\omega^2) \times (-\omega) = \omega^3 \)
चूँकि \( \omega^3 = 1 \), अतः उत्तर 1 होगा।
Q30. \( \frac{1 + i}{1 - i} \) को सरल करने पर क्या प्राप्त होगा?
- A) 1
- B) -1
- C) \( i \)
- D) \( -i \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: C) \( i \)
हल:
हर का परिमेयकरण करें (Conjugate से गुणा):
\( \frac{1 + i}{1 - i} \times \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(1 + i)^2}{1^2 + 1^2} \)
\( (1 + i)^2 = 1 + i^2 + 2i = 1 - 1 + 2i = 2i \)
अतः \( \frac{2i}{2} = i \)
Q31. \( i^{1000} \) का मान क्या है?
- A) \( i \)
- B) -1
- C) 1
- D) \( -i \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: C) 1
हल:
हम जानते हैं कि \( i \) की घात यदि 4 का गुणज (Multiple of 4) हो, तो मान हमेशा 1 होता है।
1000 पूरी तरह से 4 से विभाज्य है (1000 ÷ 4 = 250)।
अतः \( i^{1000} = (i^4)^{250} = 1^{250} = 1 \)
Q32. आर्गंड तल (Argand Plane) में बिंदु \( z, iz \) और \( z + iz \) द्वारा बनाए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा?
- A) \( \frac{1}{2}|z|^2 \)
- B) \( |z|^2 \)
- C) \( \frac{3}{2}|z|^2 \)
- D) \( 2|z|^2 \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: A) \( \frac{1}{2}|z|^2 \)
हल:
त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई निकालें:
भुजा 1: \( |iz - z| = |z(i - 1)| = |z|\sqrt{2} \)
भुजा 2: \( |(z + iz) - z| = |iz| = |z| \)
भुजा 3: \( |(z + iz) - iz| = |z| \)
भुजाएँ \( |z|, |z| \) और \( \sqrt{2}|z| \) हैं। यह एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज (Right Isosceles Triangle) है।
क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times \) आधार \( \times \) लंब = \( \frac{1}{2} |z| |z| = \frac{1}{2}|z|^2 \)
Q33. कोणांक का गुणधर्म: \( \text{arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) \) किसके बराबर होता है?
- A) \( \text{arg}(z_1) + \text{arg}(z_2) \)
- B) \( \text{arg}(z_1) \cdot \text{arg}(z_2) \)
- C) \( \text{arg}(z_1) - \text{arg}(z_2) \)
- D) \( \frac{\text{arg}(z_1)}{\text{arg}(z_2)} \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: C) \( \text{arg}(z_1) - \text{arg}(z_2) \)
हल:
कोणांक (Argument) लघुगणक (Logarithm) के समान नियमों का पालन करते हैं।
विभाजन (Division) में कोणांक घट जाते हैं: \( \text{arg}(z_1 / z_2) = \text{arg}(z_1) - \text{arg}(z_2) \)
Q34. यदि किसी सम्मिश्र संख्या का मापांक \( |z| = 1 \) हो, तो उसका संयुग्मी \( \bar{z} \) किसके बराबर होगा?
- A) \( z \)
- B) \( -z \)
- C) \( \frac{1}{z} \)
- D) \( 1 - z \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: C) \( \frac{1}{z} \)
हल:
हम जानते हैं कि \( z \cdot \bar{z} = |z|^2 \) होता है।
चूँकि \( |z| = 1 \), अतः \( |z|^2 = 1 \)
इसलिए, \( z \cdot \bar{z} = 1 \implies \bar{z} = \frac{1}{z} \)
Q35. यदि \( x + iy = (1 + i)(1 + 2i) \) हो, तो \( x \) और \( y \) के मान क्रमशः क्या होंगे?
- A) -1, 3
- B) 1, 3
- C) -1, -3
- D) 3, -1
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: A) -1, 3
हल:
गुणा करने पर: \( (1 + i)(1 + 2i) = 1(1 + 2i) + i(1 + 2i) \)
\( = 1 + 2i + i + 2i^2 \)
\( i^2 = -1 \) रखने पर: \( 1 + 3i - 2 = -1 + 3i \)
अतः तुलना करने पर: \( x = -1, y = 3 \)
Q36. यदि \( |z - 1| = 1 \) हो, तो \( |z + 1| \) का अधिकतम मान (Maximum Value) क्या हो सकता है?
- A) 1
- B) 2
- C) 3
- D) 4
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: C) 3
हल:
त्रिभुज असमिका (Triangle Inequality) के अनुसार: \( |z + 1| = |(z - 1) + 2| \)
\( \le |z - 1| + |2| \)
\( \le 1 + 2 \implies 3 \)
अतः अधिकतम मान 3 होगा।
Q37. \( \frac{1}{3 - 4i} \) का संयुग्मी (Conjugate) क्या है?
- A) \( \frac{3 - 4i}{25} \)
- B) \( \frac{3 + 4i}{25} \)
- C) \( 3 + 4i \)
- D) \( 3 - 4i \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: A) \( \frac{3 - 4i}{25} \)
हल:
पहले संख्या को सरल करें: \( z = \frac{1}{3 - 4i} \times \frac{3 + 4i}{3 + 4i} = \frac{3 + 4i}{9 + 16} = \frac{3 + 4i}{25} \)
अब इसका संयुग्मी निकालने के लिए \( i \) का चिह्न बदल दें:
\( \bar{z} = \frac{3 - 4i}{25} \)
Q38. डी-मॉयवर की प्रमेय (De Moivre's Theorem) के अनुसार \( (\cos \theta + i\sin \theta)^n \) किसके बराबर होता है?
- A) \( \cos^n \theta + i\sin^n \theta \)
- B) \( \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \)
- C) \( n(\cos\theta + i\sin\theta) \)
- D) \( \cos(\theta/n) + i\sin(\theta/n) \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) \( \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \)
हल:
De Moivre's Theorem का सीधा सूत्र है कि यदि घातांक \( n \) एक पूर्णांक है, तो घातांक सीधे कोण (Angle) के साथ गुणा हो जाता है।
\( (\cos \theta + i\sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \)
Q39. श्रेणी \( 1 + i^2 + i^4 + i^6 + ... + i^{20} \) का योगफल क्या होगा?
- A) 0
- B) 1
- C) -1
- D) 11
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) 1
हल:
हम जानते हैं कि \( i^2 = -1, i^4 = 1, i^6 = -1, ... \)
श्रेणी बन जाएगी: \( 1 + (-1) + 1 + (-1) + ... \)
घात 0, 2, 4 ... 20 तक कुल पद = 11 (विषम संख्या)।
पहले 10 पदों का योग 0 हो जाएगा (5 बार 1 और 5 बार -1)। 11वाँ पद 1 बचेगा। अतः योग 1 होगा।
Q40. वास्तविक मान \( x \) ज्ञात कीजिए यदि \( (x - iy)(3 + 5i) \), सम्मिश्र संख्या \( -6 - 24i \) का संयुग्मी (Conjugate) हो।
- A) -3
- B) 3
- C) 5
- D) -5
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) 3
हल:
\( -6 - 24i \) का संयुग्मी = \( -6 + 24i \)
दिया गया है: \( (x - iy)(3 + 5i) = -6 + 24i \)
गुणा करने पर: \( 3x + 5xi - 3yi - 5yi^2 = -6 + 24i \)
\( (3x + 5y) + i(5x - 3y) = -6 + 24i \)
तुलना करने पर: 1) \( 3x + 5y = -6 \), 2) \( 5x - 3y = 24 \)
समीकरण 1 को 3 से और 2 को 5 से गुणा करके जोड़ने पर:
\( 9x + 15y = -18 \)
\( 25x - 15y = 120 \)
जोड़ने पर: \( 34x = 102 \implies x = 3 \)
Q41. यदि \( z = 3 + 4i \) हो, तो \( z\bar{z} \) का मान क्या होगा?
- A) 7
- B) 25
- C) -7
- D) 5
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) 25
हल:
गुणधर्म के अनुसार \( z\bar{z} = |z|^2 \) होता है।
\( |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
अतः \( |z|^2 = 5^2 = 25 \)
Q42. सम्मिश्र संख्या \( (1 + i)^6 \) का मापांक (Modulus) क्या है?
- A) 4
- B) 8
- C) 16
- D) 64
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) 8
हल:
मापांक का गुणधर्म: \( |z^n| = |z|^n \)
यहाँ \( z = 1 + i \), तो \( |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
अतः \( |(1 + i)^6| = (\sqrt{2})^6 = (2^{1/2})^6 = 2^3 = 8 \)
Q43. \( \frac{1}{1 - i} \) का गुणात्मक प्रतिलोम (Multiplicative Inverse) क्या होगा?
- A) \( 1 + i \)
- B) \( 1 - i \)
- C) \( \frac{1 + i}{2} \)
- D) \( \frac{1 - i}{2} \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) \( 1 - i \)
हल:
किसी भी संख्या \( z \) का गुणात्मक प्रतिलोम \( \frac{1}{z} \) होता है।
यहाँ संख्या \( z = \frac{1}{1 - i} \) है।
अतः इसका प्रतिलोम = \( 1 - i \) होगा। (इसमें परिमेयकरण करने की आवश्यकता नहीं है, सीधा अंश और हर पलट जाएँगे)।
Q44. किसी भी पूर्णांक \( n \) के लिए \( \omega^{3n} + \omega^{3n+1} + \omega^{3n+2} \) का मान क्या होता है? (\( \omega \) इकाई का अवास्तविक घनमूल है)
- A) 1
- B) -1
- C) 0
- D) \( \omega \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: C) 0
हल:
\( \omega^{3n} \) को कॉमन लेने पर:
\( \omega^{3n} (1 + \omega^1 + \omega^2) \)
हम जानते हैं कि \( 1 + \omega + \omega^2 = 0 \)
अतः \( \omega^{3n} \times 0 = 0 \)
Q45. सम्मिश्र संख्या \( \frac{1}{i} \) का संयुग्मी (Conjugate) क्या होगा?
- A) \( i \)
- B) \( -i \)
- C) 1
- D) -1
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: A) \( i \)
हल:
पहले \( \frac{1}{i} \) को सरल करें। अंश और हर में \( i \) का गुणा करने पर: \( \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i \)
अब \( -i \) का संयुग्मी (काल्पनिक भाग का चिह्न बदलने पर) \( +i \) होगा।
Q46. सम्मिश्र संख्या \( 1 + i \) का मुख्य कोणांक (Principal Argument) क्या है?
- A) \( \pi/2 \)
- B) \( \pi/3 \)
- C) \( \pi/4 \)
- D) \( \pi/6 \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: C) \( \pi/4 \)
हल:
यहाँ \( x = 1, y = 1 \) (प्रथम चतुर्थांश)।
कोणांक \( \theta = \tan^{-1}(y/x) = \tan^{-1}(1/1) = \tan^{-1}(1) \)
\( \tan \) का मान 1, \( \pi/4 \) (45°) पर होता है।
Q47. डी-मॉयवर प्रमेय (De Moivre's Theorem) का उपयोग करके \( \left(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}\right)^6 \) का मान निकालें।
- A) 1
- B) -1
- C) \( i \)
- D) \( -i \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) -1
हल:
\( (\cos \theta + i\sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \)
\( = \cos(6 \times \frac{\pi}{6}) + i\sin(6 \times \frac{\pi}{6}) \)
\( = \cos(\pi) + i\sin(\pi) \)
\( = -1 + i(0) = -1 \)
Q48. यदि \( z = \frac{\sqrt{3} + i}{2} \) हो, तो \( z^6 \) का मान क्या होगा?
- A) 1
- B) -1
- C) \( i \)
- D) \( -i \)
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) -1
हल:
\( z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i = \cos(\pi/6) + i\sin(\pi/6) \)
इसे यूलर रूप (Euler's Form) में \( e^{i\pi/6} \) लिख सकते हैं।
\( z^6 = (e^{i\pi/6})^6 = e^{i\pi} \)
\( e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1 \)
Q49. यदि \( |z| = 2 \) हो, तो \( |z + 3 - 4i| \) का अधिकतम मान (Maximum Value) क्या होगा?
- A) 5
- B) 7
- C) 9
- D) 3
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: B) 7
हल:
त्रिभुज असमिका (Triangle Inequality) से:
\( |z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2| \)
\( |z + (3 - 4i)| \le |z| + |3 - 4i| \)
\( \le 2 + \sqrt{3^2 + (-4)^2} \)
\( \le 2 + \sqrt{25} \implies 2 + 5 = 7 \)
Q50. समीकरण \( z^2 = \bar{z} \) के कुल कितने हल (Solutions) होते हैं?
- A) 1
- B) 2
- C) 3
- D) 4
उत्तर और हल (Solution) देखें
सही उत्तर: D) 4
हल:
समीकरण: \( z^2 = \bar{z} \)
दोनों ओर मापांक लेने पर: \( |z|^2 = |\bar{z}| = |z| \)
\( |z|(|z| - 1) = 0 \implies |z| = 0 \) या \( |z| = 1 \)
यदि \( |z| = 0 \), तो \( z = 0 \) (1 हल)
यदि \( |z| = 1 \), तो \( \bar{z} = 1/z \), समीकरण बनेगा \( z^2 = 1/z \implies z^3 = 1 \)
\( z^3 = 1 \) के 3 हल होते हैं (इकाई के घनमूल: \( 1, \omega, \omega^2 \))।
अतः कुल 1 + 3 = 4 हल होंगे।
🙏 आपका बहुत-बहुत धन्यवाद! 🙏
हमारी वेबसाइट पर विजिट करने और इन प्रश्नों का अभ्यास करने के लिए आपका बहुत-बहुत धन्यवाद!
हमें उम्मीद है कि इस प्रैक्टिस सेट से आपकी तैयारी को नई दिशा मिली होगी।
हमारी अन्य पोस्ट में आपको ऐसे ही और भी महत्वपूर्ण प्रश्न, कॉन्सेप्ट्स और बेहतरीन प्रैक्टिस सेट मिलेंगे। अपनी सफलता की पक्की तैयारी के लिए हमेशा हमसे जुड़े रहें।
✍️ Written & Prepared By:
BK Pawar
(MS Teacher Maths)
🎥 Free Video Classes & Solutions: गणित के किसी भी टॉपिक को गहराई से समझने के लिए हमारे यूट्यूब चैनल "Maths Wallah-BK" से जुड़ें!
